Ecuaciones diferenciales resueltas: separables, lineales y de segundo orden

Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Resolverla es encontrar qué función la cumple. Hoy vemos los tres tipos estrella del primer parcial.

1Ecuación de variables separables

Resuelve $$y'=2xy,\qquad y(0)=1$$

Paso 1 · Separamos

$$\frac{dy}{dx}=2xy\ \Rightarrow\ \frac{dy}{y}=2x\,dx$$

Paso 2 · Integramos a ambos lados

$$\ln|y|=x^2+C\ \Rightarrow\ y=Ke^{x^2}$$

Paso 3 · Condición inicial

$y(0)=Ke^0=K=1$. Solución:

$$y=e^{x^2}$$

2Ecuación lineal de primer orden

Resuelve $$y'+y=x,\qquad y(0)=0$$

Paso 1 · Factor integrante

Forma $y'+p(x)y=q(x)$ con $p=1$: $\mu=e^{\int 1\,dx}=e^x$.

Paso 2 · Multiplicamos

$$e^xy'+e^xy=xe^x\ \Rightarrow\ (e^xy)'=xe^x$$

Paso 3 · Integramos (por partes)

$$e^xy=(x-1)e^x+C\ \Rightarrow\ y=x-1+Ce^{-x}$$

Paso 4 · Condición inicial

$y(0)=-1+C=0\Rightarrow C=1$:

$$y=x-1+e^{-x}$$

Familia de soluciones $y=x-1+Ce^{-x}$. Mueve $C$: todas las curvas acaban pegadas a la recta $y=x-1$. Con C = 1 pasa por el origen, que es nuestra condición inicial.

Ojo en el examen: la constante se calcula al final, con la solución general ya despejada. Si la impones antes de integrar, te saldrá mal.

3Lineal de segundo orden homogénea

Resuelve $$y''-3y'+2y=0$$

Paso 1 · Ecuación característica

Probamos $y=e^{rx}$:

$$r^2-3r+2=0$$

Paso 2 · Raíces

$$(r-1)(r-2)=0\ \Rightarrow\ r_1=1,\ r_2=2$$

Paso 3 · Solución general

Dos raíces reales distintas:

$$y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}$$

Resumen: raíces reales distintas → $C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$; raíz doble → $(C_1+C_2x)e^{rx}$; complejas $a\pm bi$ → $e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$.

?Mini-quiz: ¿lo has pillado?

1. La solución general de $y'=3y$ es…

2. La solución general de $y''+4y=0$ es…

3. Si $y'=y$ e $y(0)=5$, entonces $y(1)$ vale…

¡Buen trabajo! Hay mucho más en camino.

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