Integrales resueltas: sustitución, por partes y área entre curvas

¡Bienvenido a Cálculo II! Integrar es derivar al revés, pero con trucos. Hoy usamos los dos que más caen: sustitución e integración por partes, y terminamos con un área.

1Sustitución (cambio de variable)

Calcula $$\int 2x\cos(x^2)\,dx$$

Paso 1 · Buscamos la función de dentro

Dentro del coseno está $x^2$ y su derivada $2x$ aparece fuera. ¡Señal de sustitución!

Paso 2 · Cambio

Tomamos $u=x^2$, así $du=2x\,dx$:

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int\cos u\,du$$

Paso 3 · Integramos y deshacemos el cambio

$$\int\cos u\,du=\sin u+C=\sin(x^2)+C$$

2Integración por partes

Calcula $$\int x\,e^{x}\,dx$$

Paso 1 · Fórmula

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$

Regla ALPES: elige como $u$ la que aparece antes en Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos.

Paso 2 · Elegimos

$u=x\Rightarrow du=dx$; $dv=e^x dx\Rightarrow v=e^x$.

Paso 3 · Aplicamos

$$\int x e^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$$

Paso 4 · Comprobamos derivando

$$\big((x-1)e^x\big)'=e^x+(x-1)e^x=xe^x\ \checkmark$$

Ojo en el examen: si eliges $u=e^x$ y $dv=x\,dx$, la integral nueva es más difícil que la original. Si te pasa, vuelve atrás y cambia la elección.

3Área entre dos curvas

Calcula el área encerrada entre $y=x$ e $y=x^2$.

Paso 1 · Puntos de corte

$$x=x^2\iff x(x-1)=0\iff x=0,\ x=1$$

Paso 2 · ¿Quién va arriba?

En $(0,1)$, por ejemplo $x=\tfrac12$: $\tfrac12>\tfrac14$. Arriba $y=x$, abajo $y=x^2$.

Paso 3 · Integramos arriba menos abajo

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^1=\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16$$

Mueve el deslizador $b$: la zona sombreada es $\int_0^b (x-x^2)\,dx$. Con $b=1$ obtienes el área total 1/6 ≈ 0,1667.

Truco: haz siempre un dibujo rápido antes de integrar un área. Así sabes qué curva va arriba y evitas áreas negativas.

?Mini-quiz: ¿lo has pillado?

1. $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ vale…

2. $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,dx$ vale…

3. $\displaystyle\int e^{3x}\,dx$ vale…

¡Buen trabajo! Hay mucho más en camino.

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