Límites resueltos paso a paso: 3 ejercicios tipo parcial

¡Hola! Soy Profe Pi. 🦉 Los límites asustan al principio, pero casi todos siguen la misma receta: sustituye primero. Si sale un número, ya está. Si sale una indeterminación, toca transformar. ¡Vamos juntos!

1Indeterminación 0/0

Calcula $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$

Paso 1 · Sustituimos

Con $x=2$: numerador $4-4=0$, denominador $2-2=0$. Sale $\frac{0}{0}$: indeterminación.

Paso 2 · Factorizamos

El numerador es una diferencia de cuadrados:

$$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\qquad(x\neq 2)$$

Paso 3 · Calculamos

El límite solo mira lo que pasa cerca de 2, no en 2, así que podemos simplificar:

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$$

Mueve el deslizador $h$: los puntos verde y naranja se acercan a $x=2$ por la izquierda y por la derecha. La función no está definida en $x=2$ (círculo vacío), pero sus valores se acercan a 4.

2El límite notable del seno

Calcula $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}$$

Paso 1 · Sustituimos

$\sin 0=0$ y el denominador es $0$: otra vez $\frac{0}{0}$.

Paso 2 · Recordamos el límite notable

$$\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$$

Necesitamos que lo de dentro del seno aparezca también abajo.

Paso 3 · Multiplicamos y dividimos por 3

$$\frac{\sin(3x)}{x}=3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}$$

Paso 4 · Concluimos

Con $u=3x$, si $x\to0$ entonces $u\to0$:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}=3\cdot1=3$$

La gráfica de $\frac{\sin(3x)}{x}$ tiene un “agujero” en $x=0$, justo a la altura 3. Arrastra el punto morado hacia el eje vertical.

Ojo en el examen: $\frac{\sin(3x)}{x}$ no da 1. El “1” solo sale si el argumento del seno y el denominador son exactamente iguales.

3Infinito entre infinito

Calcula $$\lim_{x\to +\infty}\frac{3x^2+1}{2x^2-x}$$

Paso 1 · Identificamos

Numerador y denominador tienden a $+\infty$: indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$.

Paso 2 · Dividimos por $x^2$

$$\frac{3x^2+1}{2x^2-x}=\frac{3+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}}$$

Paso 3 · Los términos $\frac1x$ y $\frac{1}{x^2}$ tienden a 0

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{3+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}}=\frac{3+0}{2-0}=\frac32$$

Truco: si numerador y denominador son polinomios del mismo grado, el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales: $\frac32$. ¡Te ahorra tiempo en el parcial!

?Mini-quiz: ¿lo has pillado?

1. $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$ vale…

2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{2x}$ vale…

3. $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+x}{2x^3-7}$ vale…

¡Buen trabajo! Hay mucho más en camino.

Apúntate y te avisamos cuando abra el curso completo.

Únete a la lista de espera