Métodos numéricos resueltos: bisección, Newton-Raphson y trapecio

En Métodos numéricos no buscamos la fórmula exacta: nos acercamos a la solución con iteraciones. Lo importante es saber cuántos pasos hacer y cuánto error cometes.

1Método de bisección

Aproxima $\sqrt2$ como raíz de $f(x)=x^2-2$ en $[1,2]$ con 3 iteraciones.

Paso 0 · ¿Hay raíz?

$f(1)=-1<0$ y $f(2)=2>0$: cambia de signo, por Bolzano hay una raíz.

Iteración 1

$m=1{,}5$, $f(1{,}5)=0{,}25>0$ → nueva cota $[1;\,1{,}5]$.

Iteración 2

$m=1{,}25$, $f(1{,}25)=-0{,}4375<0$ → $[1{,}25;\,1{,}5]$.

Iteración 3

$m=1{,}375$, $f(1{,}375)=-0{,}109375<0$ → $[1{,}375;\,1{,}5]$. La raíz está en un intervalo de longitud $0{,}125$.

2Método de Newton-Raphson

Aproxima $\sqrt2$ con Newton, partiendo de $x_0=1$.

Paso 1 · Fórmula

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}$$

Paso 2 · Primeras iteraciones

$$x_1=1-\frac{-1}{2}=1{,}5\qquad x_2=1{,}5-\frac{0{,}25}{3}=\frac{17}{12}\approx1{,}416667$$

Paso 3 · Tercera iteración

$$x_3=\frac{577}{408}\approx1{,}414216$$

¡Ya acierta 5 decimales! $\sqrt2=1{,}414213\ldots$

Arrastra el punto naranja ($x_n$). La tangente corta al eje en $x_{n+1}$: así “salta” Newton hacia la raíz √2 ≈ 1,4142.

Ojo en el examen: Newton converge muy rápido cerca de la raíz, pero si $f'(x_n)$ está cerca de 0 la tangente es casi horizontal y el método puede salir disparado.

3Regla del trapecio

Aproxima $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ con la regla del trapecio compuesta y $n=2$.

Paso 1 · Paso y nodos

$h=\frac{1-0}{2}=0{,}5$; nodos $0;\ 0{,}5;\ 1$ con $f=0;\ 0{,}25;\ 1$.

Paso 2 · Fórmula

$$T=\frac h2\big[f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\big]=0{,}25\,(0+0{,}5+1)=0{,}375$$

Paso 3 · Error

El valor exacto es $\frac13\approx0{,}3333$: error $\approx0{,}0417$. Con más subintervalos el error baja como $h^2$.

?Mini-quiz: ¿lo has pillado?

1. Bisección para $x^2-3$ en $[0,2]$: tras la primera iteración el intervalo es…

2. Newton para $f(x)=x^2-9$ desde $x_0=4$ da $x_1=$…

3. Al duplicar $n$ en el trapecio compuesto, el error se divide aproximadamente entre…

¡Buen trabajo! Hay mucho más en camino.

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